dersetkinlik.com


REKLAMLAR

9.sınıf mantık konu anlatımı-önermeler-bileşik önermeler-açık önermeler-ispat yöntemleri

9.Sınıf Mantık Önermeler Konu Anlatımı Örnek Soru Çözümleri Videosunu İzlemek İçin TIKLAYIN
9.Sınıf Mantık Test Soru Çözümleri İle Konuyu Öğrenme(Video)

9.Sınıf Mantık Konu Anlatımı İndirmek İçin TIKLAYIN
KONU ÖZETİ:
Çağdaş mantığın ve çağdaş felsefenin kurucusu Alman mantıkçısıGottlob Frege, “Matematik mantığın uygulama alanıdır” görüşünden hareketle matematiğin, mantığın aksiyomatik sistemi üzerine kurulabileceğini düşünmüştür. Bu düşünceden hareket ederek aritmetiğin temelleri konusundaki felsefi çalışmaları için bir mantık sistemi geliştirmişti.

Daha sonra, Frege’nin çalışmalarına dayanarak, Russell ve Whitehead 1910-1913 yılları arasında Principia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem haline getirmeye çalıştılar. Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Gödel 1933′te yayınladığı bir kitabındaki (Über die unentsheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwander Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi.

Alan Robinson, 1967′de çözülüm teorem ispatlama yöntemini geliştirdi. Bu yöntem 1972′de A. Colmaurer tarafından ilk mantık programlama dilinin (Prolog) geliştirilmesine yol açtı. Bu dil 1975′te D. Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı. Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980′lerde ortaya çıktı.

Daha sonra, Frege’nin çalışmalarına dayanarak, Russell ve Whitehead 1910-1913 yılları arasındaPrincipia Mathematica adını verdikleri eserde matematiği mantığa indirgeyerek formel bir sistem haline getirmeye çalıştılar. Fakat matematiğin formel hale getirilemeyeceğini Gödel 1933′te yayınladığı bir kitabındaki (Über die unentsheidbare Saetze der Principia Mathematica und verwander Systeme) meşhur teoremiyle gösterdi.

Alan Robinson, 1967′de çözülüm teorem ispatlama yöntemini geliştirdi. Bu yöntem 1972′de A. Colmaurer tarafından ilk mantık programlama dilinin (Prolog) geliştirilmesine yol açtı. Bu dil 1975′te D. Warren tarafından “Warren Abstract Machine” (WAM) olarak ugulandı. Kişisel bilgisayarlar üzerinde ilk uygulamalar 1980′lerde ortaya çıktı.

Önermeler Mantığı

Formel sistemler şu elemanlardan meydana gelir:

  1. Tanımlanmamış terimler
  2. Tanımlar
  3. Türetme kuralları
  4. Aksiyomlardır
  5. Teoremler

Formel mantığın tanımlanmamış terimleri olarak, basit önerme (P) ve mantıksal bağlar (değil, ve, veya, eğer-ise, eğer ve ancak-ise) gösterilebilir.

Tanımlanan terimlere örnek olarak bileşik önerme kavramını gösterilebilir. Aslında yukarıda verilen mantıksal bağlar bir tek mantıksal bağ yardımıyla tanımlanabilir.

Önerme

Aşağıdaki cümleler önermelere örnektir:

Bugün hava güneşlidir.
3 asal sayıdır.
Duygu 21 yaşındadır.
3 asal sayı değildir.
Duygu 21 yaşında değildir.
Bir gün 24 saattir. sıfır doğal sayıdır

Mantıksal bağlar kullanarak basit önermelerden başka önermeler kurulabilir, ki bunlara “bileşik önermeler” denir.Önerme matematikte kesin bir hüküm bildiren ifadelere denir.

Olumsuzu

Bir önerme “değil” eki ile karşıt ifadeye çevrilebilir; buna değilleme denir.

Bir hafta 7 gün’dür. Bir hafta 7 gün degildir.

Birleşim

İki veya daha fazla önermeden “ve” mantıksal bağını kullanarak bileşik önermeler kurulabilir. Örnek olarak: “Bu gün hava açık ve sıcak” cümlesini verilebilir. Doğal dilde bazen “fakat” bağlacını da kullanıyoruz.

Örnek: “bugün gemiler 9′da ve 10.da sefer yapacak.” değili A’ olarak gösterilir

Ayrılım

İki veya daha fazla basit önermeden “veya” (ya da) mantıksal bağını kullanarak bilesik önermeler kurulabilir.

Örnek: “Bugün Arçelik veya Teletaş’tan ziyaretçiler gelecek.”

Ancak ve Ancak

Yine, “eğer ve ancak-ise” bağını kullanarak birden fazla önermeden çift şartlı önermeler kurulabilir. Bu tür önermeler doğal dilde daha az kullanılmasına rağmen, fizik ve matematikte sık sık kullanılmaktadır.

Örnek: “Eğer ve ancak çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez.”

Aynı cümle şu şekilde de ifade edilebilir: “Eğer, çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederlerse enflasyon düşmez, ve eğer enflasyon düşmezse çalışanlar ücretlerde aşırı artış talep ederler.”

Cebirde olduğu gibi, sembolik veya matematiksel mantıkta da, önermeler yerine önermesel değişkenler kullanılır (P, Q, R, S, T harfleri gibi).

Mantıksal bağlar

Mantıksal bağlar aşağıdaki sembollerle gösterilir:

neg: değil
land: ve
lor: veya
to: eğer-ise
leftrightarrow: eğer ancak-ise

Böylece şu ifadeler, önermesel formüller olacaktır:

neg PP land QP lor QP to QP leftrightarrow Q


Örnek: “Eğer sendika veya fabrika yöneticileri inada devam ederlerse, grev ancak hükümet bir kararname çıkarır ve fabrikaya polis göndermezse önlenir.”

P: Sendika inada devam eder
Q: Fabrika yöneticileri inada devam eder
R: Grev önlenir
S: Hükümet kararname çıkartır
T: Hükümet fabrikaya polis göndermez

(P lor Q) to (R leftrightarrow S land T)


Doğruluk cetvelleri

Mantıkta önermeler doğru ya da yanlış olabilir, fakat hem doğru hem yanlış olamaz. Bir önermeye yüklenen bu “doğru” ve “yanlış” yüklemlerine onun “doğruluk değeri” denir.

Buna göre, şimdi şu önermesel formüllerin doğruluk değerlerini irdeleyelim:

neg PP land QP lor QP to QP leftrightarrow Q

“Değil” sözcüğünün anlamından hareketle, eğer bir P önermesi doğru ise onun değillemesi, yani neg Pyanlıştır, ve bunun tersi. Mesela, P önermesi “Ay dünyanın uydusudur” cümlesi yerine geçiyorsa, bunun değillemesi olan neg P yanlıştır.

Gene, kural olarak iki veya daha fazla önermenin birleşimi, ancak birleşen bütün önermelerin doğru olması halinde doğrudur. Mesela, “3 asal sayıdır ve 2+2=5′tir” yanlış bir bileşik önermedir.

Yine kural olarak, ayrık önermelerin doğru olabilmesi için bileşenlerden birinin doğru olması yeterlidir. Ayrık önermeler ancak bunları meydana getiren bileşenlerin hepsinin birden yanlış oldugu halde yanlış sayılır.

Bileşik önermeler için doğruluk tabloları şu şekilde verilebilir:

P Q neg P P land Q P lor Q P to Q P leftrightarrow Q
D D Y D D D D
D Y Y Y D Y Y
Y D D Y D D Y
Y Y D Y Y D D

D: doğru, Y: yanlış

Eşdeğerlikler

neg neg P = P
neg P lor Q = P to Q
neg (P lor Q) = neg P land neg Q
neg (P land Q) = neg P lor neg Q

Karşıtlıklar

neg P times P
(P to Q) times (P land neg Q)
(P lor Q) times (neg P land neg Q)
(P land Q) times (neg P lor neg Q)

Totoloji
Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “doğru” çıkıyorsa, bu önermesel formüle “totoloji” denir.
Çelişki
Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki bütün değerler “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “çelişki” denir.
Bazen doğruluk
Bir önermesel formülün (veya bileşik önermenin) doğruluk cetvelindeki son değerlendirme sütunundaki değerlerden bazıları “doğru” bazıları “yanlış” çıkıyorsa bu önermesel formüle “bazen doğru” denir.
Tutarlılık
Bir bileşik önermeye “ve” ekiyle başka bir önerme eklendiği zaman bir çelişki ortaya çıkmıyorsa, eklenen önerme öncekiyle tutarlıdır denir.
Geçerlilik
Bir A1, A2, …, An önerme dizisindeki bütün A’lar doğru olduğu zaman bir B hükmü de doğru oluyorsa B’ye A1, A2, …, An önermelerinin geçerli sonucudur denir. Geçerlilik şu şekilde gösterilir:

A1, A2, …, An |= B.

Mantıksal İçerik
Bir bileşik önermeyi yanlış yapan şartların sayısının bütün şartların sayısına oranı ne kadar büyükse, o önermenin mantıksal içeriği o kadar fazladır. Çelişkinin mantıksal içeriğinden bahsedilemez (çünkü yoktur.).(–>bu durumda çelişki için mantıksal içerik 1/1 olması beklenir. buna göre ilk cümle ile bahsedilen tanım tersi olarak düşünülmesi gerekmektedir =>düzeltmedir, şayet hata yok ise siliniz?)

Yüklemler Mantığı

Önermeler mantığının türetim kuralları matematik için yeterli olmadığı gibi gündelik dil için de yeterli değildir. Mesela, klasik mantıkta “Her asal sayı bir doğal sayıdır” ve “3 asal sayıdır” öncüllerinden, “3 doğal sayıdır” sonucunu çıkarabiliyoruz. Fakat bu akıl yürütmenin doğruluğu, önermeler mantığının kuralları çerçevesi içinde kanıtlanamaz. Bunun nedeni de şudur: Önermeler mantığı bileşik önermeler içindeki basit önermeler arasındaki mantıksal bağlara ve basit önermelerin doğruluk değerlerine göre bileşik önermelerin doğruluklarını inceler. Diğer bir deyişle, önermeler mantığı bir önermeyi birçok maksat için yeterli ayrıntıda analiz etmez.

İşte, terimler, yüklemler ve niceleyiciler diye isimlendireceğimiz mantıksal kavramlar yardımıyla gündelik dili ve matematiğin dilini büyük ölçüde sembolize edebiliriz.

Yüklemler mantığında da aynı matematikte olduğu gibi, sabitler ve değişkenler kullanılır. Biraz önce bahsedilen “terimleri” iki sınıfa ayırabiliriz: Bireysel değişkenler, bireysel sabitler. Bireysel sabitlere örnek olarak birey olduğunu bildiğimiz varlıkları sayabiliriz: “Gökhan”, “Tekir”, “gül” gibi. Bunlar yerine de “insan”, “hayvan”, “bitki” kavramlarının çerçeveleri içinde olmak üzere x, y, z, değişken sembollerini kullanabiliyoruz.

Matematikte değişkenler genellikle sayılar veya fonksiyonlar olabilir. Yüklemler mantığında ise bireysel terimler değişken olabildiği gibi, yüklemler de sabit veya değişken olabilir. Yüklemsel sabitlere örnek olarak önermeler içinde yer alan yüklemleri gösterebiliriz: “sayı”, “meyve”, “uydu”, “sert” gibi. Buna göre,

7 bir asal sayıdır.
Elma bir tür meyvedir.
Miranda, Neptün’ün uydusudur.
Demir sert bir metaldir.

…cümleleri içinde “7″, “elma”, “Miranda”, “Neptün” ve “demir” bireysel sabitler, “asal sayı, “meyve”, “uydu” ve “sert metal” de yüklemsel sabitlerdir.

Yüklemsel ifadelerde yüklemler yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi bir veya iki terimli (veya argümanlı) olabildiği gibi, daha fazla sayıda argüman da içerebilirler. Mesela: “Beril, Akın ve Şebnem’nin önünde oturuyor” dediğimiz zaman, burada “önünde oturuyor” ifadesini yüklem olarak; Beril, Akın ve Şebnem isimlerini de bireysel sabitler olarak almış oluyoruz.

Yüklemsel ifadeler yüklemin aldığı terim sayısına göre şu genel biçimlerde gösterilebilirler:

P(a), Q(b,c), R(d,e,f), …

Bu ifadelerde, hemen görülebileceği gibi, bireysel sabitler yerine x, y, z gibi değişkenler koyarsak,

P(x), Q(b,y), R(z,e,f)

…gibi değişken terimli yüklemsel ifadeler elde ederiz.

Eşdeğerlik ve karşıtlık

A(x) yüklemsel bir formül olsun. Şu ifadeleri gözönüne alalım:

a) forall x A(x)
b) exists x A(x)
c) forall x (neg A(x))
d) exists x (neg A(x))

Bunları doğal dile çevirirsek:

a) Herşey A yüklemine (özelliğine) sahiptir.
b) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahiptir.
c) Hiçbir şey A yüklemine (özelliğine) sahip değildir.
d) Bazı şeyler A yüklemine (özelliğine) sahip değildir.

Burada görüldüğü gibi, d, a’nın karşıtı (değillemesi), c de b’nin karşıtıdır. Şu halde, exists x A(x) yerine neg forall x neg A(x) kullanabiliriz, çünkü bunlar mantıksal olarak özdeştir, aynı şekilde forall x A(x) yerine neg exists x neg A(x) ifadesini kullanabiliriz.

Yüklemsel ifadelerde değilleme ve niceleyicilerin yeri, anlam bakımından önemlidir. Örneğin:

neg forall x asal(x), “her sayı asal değildir” anlamına gelirken,
forall x neg asal(x) ise “hiçbir sayı asal değildir” anlamına gelir.

Eşdeğerlikler

forall x P(x) = neg [exists x neg P(x)]
exists x P(x) = neg [forall x neg P(x)]
neg exists x P(x) = forall x neg P(x)
neg forall x P(x) = exists x neg P(x)

Karşıtlıklar

forall x P(x) times exists x neg P(x)
exists x P(x) times forall x neg P(x)
neg exists x P(x) times exists x P(x)
neg forall x P(x) times forall x P(x)

Çözülüm Teorem İspatlama

Çözülüm teorem ispatlama, mantık teoremlerinin ispatlanması için A. Robinson tarafından geliştirilmiş bir tekniktir. Bu tekniğin esası şudur:

Eğer “ve” bağı ile bağlı P1, …, Pn önermelerinden bir Q önermesi dedüktif olarak çıkarılabiliyorsa, o zaman Q’nun değillemesini bu önermelere “ve” bağı ile kattığımız zaman bir çelişki elde ederiz. Sembollerle gösterecek olursak:

P_1 land, ..., land P_n to Q

…çıkarımı geçerli ise,

P_1 land, ..., land P_n land neg Q

…bir çelişkidir.

Bu yöntemin kullanılabilmesi için, P1, …, Pn önermelerinin, eşdeğerlik dönüşümleri kullanılarak “birleşimli normal biçim” denilen bir biçime getirilmesi gerekir. Bu biçim sadece “değil”, “ve” ve “veya” mantıksal bağlarını içerir.
Örnek 1:

                     P -> Q             ~P V Q          ~P V Q
                     P                   P               P
                     ------             ------          ~Q
                     Q                   Q              ------

Bu örnekte P to Q şartlı önermesi yerine, eşdeğeri neg P lor Q konulmuştur ki bu, P to Qönermesinin normal biçimidir.

Örnek 2:

                    A -> B             ~A V B           ~A V B
                    B -> C             ~B V C           ~B V C
                    A                   A                A
                   --------           ---------         ~C
                    C                   C              ---------

Çözülüm teorem ispatlama yöntemi, yüklemler mantığının teorem ispatlama problemlerinde de uygulanmaktadır. Yüklemler mantığında teorem ispatı sırasında bireysel sabitlerin değişkenlerin yerine konulmasına “birleştirme” denilir.

Örnek 3:

                    P(x,y) -> Q(x)           ~P(x,y) V Q(x)          ~P(a,y) V Q(a)
                    P(a,y)                    P(a,y)                  P(a,y)
                    --------------           ---------------         ~Q(a)
                    Q(a)                      Q(a)                   ---------------

Bulanık Mantık

Bulanık mantık 1960’ların ortalarında Lotfi Zadeh tarafından iki değerli mantık ve olasılık teorisine alternatif olarak geliştirilmiştir. Bulanık mantıkçılara göre iki değerli mantık ve kümeler teorisi daha genel çok değerli bir teorinin özel halidir. Zadeh (1965) bulanık kümeleri ve bulanık mantığı şu şekilde tanımlamaktadır: “Bulanık sistemlerde temel düşünce bulanık mantıkta doğruluk değerleri (veya bulanık kümelerde üyelik değerleri) 0 ile 1 arasında değişen değerlerdir ki burada 0 mutlak yanlış, 1 de mutlak doğru olmaktadır.”

Doğal dilde kullandığımız birçok cümlede “az”, “çok”, “orta” gibi kalitatif niceleyiciler kullanıyoruz. Bu tür cümleleri bulanık mantığın gösterimi ile ifadelendirmek daha kolay olmaktadır. Bulanık mantıkta “Ahmet yaşlıdır” ve “Bugün hava sıcaktır” cümlelerindeki “yaşlı” ve “sıcak” ifadelerine iki değerli mantıktaki gibi “doğru” veya” yanlış” yerine 0 ile 1 arasında değer verilebilmektedir.

Bulanık mantığın formel tanımları

X, elemanları x’ler olan bir nesneler kümesi olsun, yani X = ( x ). X’in içinde bir A bulanık kümesi bir üyelik fonksiyonu mA(x) ile karakterize edilir. Bu fonksiyon X içindeki her nesneyi, 0 ile 1 arasındaki bir reel sayıya [0,1] tekabül ettirir. Yukarıdaki örnekte A, yaşlı insanlar kümesi olabilir. Ahmet de X insanlar genel kümesinin bir üyesi olarak yaşlı insanlardan biri olabilir, ki A’daki üyelik derecesine göre üyelik değeri [0,1] reel sayılar aralığında yer alır.

mA(x) değeri 1’e yaklaştığında x’in A içindeki “üyelik derecesi” artar. Bütün x’ler için mA(x) = 0 ise, A boş bir küme olur ve bütün x’ler için mA(x) = mB(x) olduğunda da A=B olur. Bulanık kümelerle ilgili tarifler de şöyledir:

m(karşıt A) = 1 – mA.

Eğer X’in bütün x’leri için mC(x) = MAX[mA(x), mB(x)] ise, C, A ve B’nin birleşimidir.

Eğer X’in bütün x’leri için mC(x) = MIN[mA(x), mB(x)] ise, C, A ve B’nin arakesitidir.

Benzer Konular

9.Sınıf Matematik Sayılar Ders Notları Çözümlü Örnek Sorular

9.Sınıf Matematik Sayılar Ders Notları-1 indirmek icin TIKLAYINIZ (1077) 9.Sınıf Matematik Sayılar Ders Notları-2 indirmek...

Soru Bankaları-Testler

6.Sınıf Soru Bankası Testler Kategorisi İçin TIKLA 7.Sınıf Soru Bankası Testler Kategorisi İçin TIKLA 8.Sınıf...

9.Sınıf Karne Notu Hesaplama-Takdir Teşekkür Hesaplama

indirmek icin TIKLA (1026) 9.Sınıf Karne Notu-Teşekkür Takdir Hesaplama...

Matematik Sembolleri-Matematik Sözlüğü

indirmek icin TIKLAYINIZ (313)...

LYS MAT-2 Belirsiz İntegral Konu Anlatımı

indirmek icin TIKLAYINIZ (437)...

Yazıya Yapılan Yorumlar

  1. tuğçe diyor ki:

    videolu olsa daha iyi olacaktı ama neyse o kadar uğraşmışsınız sağolun varolun.

  2. tuğçe diyor ki:

    yaaaa bu önermeler çooooooook zooooooooooor.

  3. ece diyor ki:

    bence çok güzel olmuş ellerinize saglık ve ben szin dediğinize katılmıyorum. ayrıca hiç de zor değil bu önerme konusu sanna göre zor olabilir ama sende öğretmenini iyi anlamamışsın veyada dinlememişsin ki ne suç buluyorsun konularda sözlerine dikkat ett

  4. ali diyor ki:

    adam ol ece artistik yapma burda .. anlamamış olabilir .. böyle konuşma kötü olur

  5. elif diyor ki:

    tuğçe ece ali 3 ünüzede katılmıyorum bugün mat sınavım var konumuzda bunlar zaten hem çalışınca herşey olur ben kendimden biliyorum çünkü bende başarısızlık hastalığına yakalandım tedavimi ise düzenli çalışmakta buldum tavsiyem şudur zor demeyi birbinize sataşmayı bırakın adam olun çalışın eleştiriye açığım yazın tabi cesaretiniz varsa………..

  6. dnky diyor ki:

    başarısızlık hastalığına yakalandım ne be =D

  7. melisa diyor ki:

    p veya q önermesinin doğruluk değerini yazmanızı rica edioorum

  8. aybüşş diyor ki:

    elif haklısın bi hastalık var sende ama sölediqin deil :D
    pskiyatrik yardım ister misin :D
    yardımcı olabilirim…

  9. PINQR diyor ki:

    bende pveq yazmanızı istiyorm…=D

  10. tuğçe diyor ki:

    elif çok doğru dedin sana katılıyorum senin dediğin taktiği yapıyorum ve yarın sınav var umarım 85 ile 90 arasında alırım…….

  11. serhado diyor ki:

    ya benim dönem ödevim var nasıl yapabilirim ben yha

  12. can diyor ki:

    benimde dönem ödevi var bunun hepsini yazcammı

Yukarı